Mysterie van de dag: Waarom mag je niet delen door 0?

‘Delen door nul is flauwekul’, ‘Wie deelt door nul is een snul’,… het zijn ezelbruggetjes die ieder van ons met weemoed terug katapulteert naar zijn eigen schooltijd. Wat er toen vaak niet bijverteld werd, is waarom het getal 0 zo speciaal is dat erdoor delen zo absurd is. Wiskundeleraar Filip Moons geeft het antwoord.

Hoewel 0 als getal voor ons een evidentie is, werd het getal historisch gezien lang niet zomaar voor lief genomen. Veel van onze schoolwiskunde was al bekend bij de oude Grieken. Maar het idee van het getal 0 was hen totaal vreemd: voor hen stelden getallen altijd ‘hoeveelheden’ voor: bijvoorbeeld 1 koe of 2 schapen. Het waren de Indiërs die rond de 9e eeuw n.C. voor het eerst de afwezigheid van hoeveelheid begonnen te zien als een getal op zich. Ook zij waren al geïnteresseerd in wat “delen door 0” zou opleveren, zo beweerde Mahavira dat “een getal delen door 0 het getal niet verandert” en Bhaskara II beweerde dat “een getal delen door 0 een oneindige hoeveelheid wordt.” Hoewel we meteen zullen zien dat beide Indiase wiskundigen ernaast zaten, waren ze hun tijd ver vooruit: zij zagen 0 echt als een object waarmee geredeneerd kon worden, los van de kwantitatieve context. Die gedachtegang kwam pas veel later in Europa aan, slechts 300 jaar geleden begonnen onze voorouders 0 te zien zoals we dat vandaag doen. Dat is van fundamenteel belang geweest voor de verdere ontwikkeling van de wiskunde en zogoed als alle wetenschappelijke en technologische vooruitgang in onze beschaving: betekenis geven aan 0 gedeeld door 0 is de basis van de Analyse, het belangrijkste toegepast wiskundige deelgebied. Daarvoor was 0 slechts een “plaatshouder” in ons getalsysteem, dat we van de Arabieren overnamen vanaf de 12e eeuw: zo kunnen we bijvoorbeeld een onderscheid maken tussen 11 en 101. De 0 als plaatshouder is trouwens nog steeds de reden waarom in pakweg notariële akten getallen in woorden worden uitgeschreven: in ons talstelsel kan je van 1.000 wel erg gemakkelijk 10.000 maken door gewoon een extra plaatshouder toe te voegen…

Taart verdelen in 0 stukken

Stel: je hebt 1 taart te verdelen in stukken van een kwart groot, hoeveel stukken krijg je dan? De corresponderende wiskundige bewerking is 1 / 0,25 = 4. Er passen dus 4 kwarten in 1 taart. Maar wat gebeurt er nu als er die ene taart in stukken van grootte 0 wilt verdelen? Het valt niet zo moeilijk in te zien dat je onmogelijk 1 taart in 0 stukken kan verdelen, 1 / 0 is dus een onzinnige bewerking die we als wiskundigen als ‘ongedefinieerd’ klasseren. Merk overigens op dat het omgekeerde absoluut geen probleem vormt: 0 taarten in 1 groot stuk verdelen, levert 0 stukken op, met andere woorden: 0 / 1 = 0 .

Toch is de kous daarmee lang niet af: een uitweg uit deze onzinnigheid zou benaderen kunnen zijn. Dat doen we als mens iedere dag: een vriendin die je nog 11,34 euro moet, zal je allicht schuldvrij verklaren als ze je deze zomer op een cocktail van 11 euro trakteert. Hetzelfde kunnen we proberen om een antwoord te geven op de vraag 1 / 0 : in plaats van onze taart te verdelen in 0 stukken, verdelen we ze in steeds kleinere en kleinere stukken (bv. grootte 0,1 vervolgens 0,01, daarna 0,001 enzovoort…). Doordat we de taart steeds in kleinere en kleinere stukken willen verdelen, zal het aantal stukken steeds groter en groter worden. Je kan steeds verder gaan met dit soort verkleiningen (bij elke verkleining lig je iets dichter bij 0), en steeds zal het aantal stukken nog groter zijn dan de vorige keer. Blijf dit proces herhalen en je belandt in de limiet uiteindelijk met een oneindig aantal stukken. Het wiskundig symbool voor oneindig is ∞.

Moest delen door 0 toegestaan zijn, dan zijn alle getallen gelijk

Wie nu denkt “ha, dan is 1 gedeeld door 0 dus oneindig of nog 1 / 0 = ∞” heeft, helaas, te vroeg gejuicht. Delen en vermenigvuldigen zijn, wiskundig gezien, dezelfde bewerking. Dat zit zo: 10 delen door 2 is 5, maar dat is hetzelfde als 10 vermenigvuldigen met 1 / 2 , of nog: 10 / 2 = 10 x 1 / 2 = 5. We zeggen dat 1 / 2 het omgekeerde is van 2. En zo is delen niet meer of minder dan “vermenigvuldigen met het omgekeerde getal.” Merk op dat 2 vermenigvuldigd met 1 / 2 , 1 oplevert: 2 x 1 / 2 = 1. Dat is altijd zo: een getal, vermenigvuldigd met zijn omgekeerde, geeft altijd 1. Een getal delen door 0 is dus het getal vermenigvuldigen met het omgekeerde van 0, dat we hier noteren als 1 / 0 . Uiteraard moet ook hier gelden dat:

maar dat is onmogelijk want wat je ook vermenigvuldigt met 0, geeft 0! 5 kopieën maken van 0 bladzijden, geeft nog steeds 0 bladzijden. Hoeveel kopieën je ook maakt van 0 bladzijden, het zal altijd 0 bladzijden blijven opleveren. Dat is ook weleens de reden waarom 0 het “opslorpend” getal voor het vermenigvuldigen genoemd wordt.

Veel interessante wiskunde is ooit ontdekt doordat wiskundigen zich van bestaande spelregels niets meer gingen aantrekken. Gezien ons taartenexperiment, kunnen we misschien even negeren dat het omgekeerde van nul allicht niet bestaat en onze eigen spelregel maken dat het omgekeerde van 0, 1 / 0 gelijk is aan oneindig ∞. We doen dus alsof het omgekeerde van nul toch bestaat en gelijk is aan ∞.

Er moet dus gelden dat 0 vermenigvuldigd met ∞, 1 oplevert of nog:

We weten allemaal dat 1 plus 1, 2 is, dus volgt logischerwijs:

Maar, wie zich de rekenregels van het middelbaar nog goed herinnert en wie de distributiviteit nog vaag iets zegt, weet eveneens dat dit gelijk is aan:

Vermits 0 + 0 uiteraard 0 oplevert, staat hier:

Maar vermits we al wisten dat

Hebben we aangetoond dat

Wat een donderslag bij heldere hemel: onze zelfgemaakte spelregel levert meteen een contradictie op. Het zijn zelfs eindeloos veel tegenstrijdigheden want hetzelfde gedachtenexperiment kan je blijven herhalen om te bewijzen dat om het even welk getal aan een ander getal gelijk is. Dus: door het introduceren ∞ als een omgekeerde van 0, zijn alle getallen die we al kenden ineens gelijk aan elkaar geworden! U ziet het: delen door 0 is echt flauwekul.